L5-1 (1-8)

MagdyMath — Integration Homework & Guided Practice

Skill Platform

MagdyMath

Lesson Video

Homework & Guided Practice — Integration

Integration • Homework & Guided Practice

Homework, guided practice, direct evaluations, and proof-based antiderivative questions.

Practice proof, power rule, logarithmic integration, inner linear functions, radicals, and mixed expressions with direct worked solutions.

Questions answered

Time elapsed

SEC

MIN

Next XP120

Level1

XP rule+ (5 + 2×difficulty)

Streak0

Best streak0

Accuracy0%

BadgeBronze 🥉

مسائل التكامل - إثباتات وحلول مباشرة Integration Problems — Proofs & Evaluations

Question 1 / 15 Difficulty: 1/5 MCQ

Student Tools

⭐ القاعدة الذهبية (Golden Rule)

التجهيز قبل التكامل: قبل إجراء عملية التكامل، تأكد من تجهيز الدالة جبرياً؛ بالتخلص من الجذور بتحويلها إلى أسس كسرية، والتخلص من المقامات برفعها للبسط بأس سالب لتصبح حدوداً يسهل مكاملتها، ثم بسّط المقدار وطبق القاعدة المناسبة.

Prepare first, then integrate: convert radicals to fractional exponents, move denominators up with negative powers, simplify first, then apply the correct integration rule.

1. الثوابت وقاعدة القوى (Power & Constant Rules)

$$ \int k \, dx = kx + c $$ $$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1) $$

تكامل الثابت هو ضربه في المتغير. وفي قاعدة القوى نزيد الأس بمقدار واحد ونقسم على الأس الجديد.

The integral of a constant is the constant times the variable. For the power rule, add 1 to the exponent and divide by the new exponent.

2. اللوغاريتم الطبيعي (Natural Logarithm)

$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + c $$ $$ \int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + c $$

إذا كان الأس (-1) لا نطبق قاعدة القوى، بل يكون التكامل هو اللوغاريتم الطبيعي للمقام. وإذا كان البسط مشتقة المقام، فالتكامل هو ln للمقام.

If the power is -1, use the natural logarithm. If the numerator is the derivative of the denominator, the integral is ln|denominator|.

3. الدوال المثلثية (Trigonometric Functions)

$$ \int \cos x \, dx = \sin x + c $$ $$ \int \sin x \, dx = -\cos x + c $$ $$ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + c $$

القواعد الأساسية لتكامل الدوال المثلثية هي عكس عملية التفاضل تماماً.

Basic trigonometric integration rules are exactly the inverse of differentiation.

4. القوس ذو الدالة الخطية (Linear Inner Function)

$$ \int (ax+b)^n \, dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c $$

قاعدة السلسلة المعكوسة: إذا كان ما بداخل القوس دالة خطية، نكامل القوس كأنه متغير واحد ثم نقسم على معامل المتغير x.

For a linear inner function, apply the power rule to the parenthesis, then divide by the coefficient of x.

5. الدالة الأسية (Exponential Function)

$$ \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + c $$

تكامل الدالة الأسية الطبيعية هو الدالة نفسها، مع القسمة على مشتقة الأس إذا كان الأس خطياً.

The integral of an exponential function is the function itself, divided by the derivative of its exponent if linear.

💡 Tips

⭐ Golden Rule

Prepare first, then integrate: convert radicals to fractional exponents, move denominators up with negative powers, simplify first, then apply the correct rule.

Quick formulas

$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$

$\int \csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$

$\int \cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$

$\int (ax+b)^n\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C$

$\int x^{-1/2}dx=2x^{1/2}+C$

Quick tip

A smart tip will appear here based on the current question.